V roce 1994 došlo k události, která otřásla matematikou. Matematik Andrew Wiles konečně dokázal Fermatovu poslední větu, která byla problémem v oblasti číselné teorie více než tři století nevyřešeným. Jeho důkaz okouzlil nejen matematiky, ale také se stal velkým tématem, které se dostalo na titulní stranu deníku The New York Times.
Aby Wiles mohl dosáhnout tohoto velkého úspěchu, musel nejprve dokázat hlubší mezilehlý tvrzení, s pomocí matematika Richarda Taylora. Toto tvrzení mělo v jistém smyslu širší význam, než se původně očekávalo.
Mezilehlý důkaz ukázal, že důležitý typ rovnic, nazývaný eliptické křivky, je neustále spojen s úplně jiným matematickým objektem, nazývaným modulární formy. Wiles a Taylor otevřeli bránu mezi různými oblastmi matematiky a ukázali, že každá z těchto oblastí se odráží jako zakřivený obraz ve druhé. Pokud někdo chce porozumět eliptickým křivkám, může vstoupit do světa modulárních forem, najít jeho odraz a poté se navrátit s novými poznatky, které mohou být aplikovány na oblast eliptických křivek.
Matematické objevy čtyř vědců
Propojení mezi těmito dvěma světy, nazývané „modularita“, nebylo významné pouze pro Wilesa a jeho důkaz Fermatovy poslední věty. V průběhu let mnozí další matematici použili toto sdělení, aby pokročili vpřed v obtížných problémech, které zůstaly nevyřešené.
Navíc modularita tvoří základ pro skupinu velkých hypotéz, známých jako Langlandsův program, které usilují o vybudování „Teorie velké unifikace“ v matematice. Pokud se ukáže, že tyto hypotézy jsou pravdivé, mohlo by to znamenat, že nejen eliptické křivky, ale také všechny druhy rovnic se mohou spojit s objekty v „zrcadlovém světě“. Matematikové by tak mohli volně přecházet mezi těmito dvěma světy a odpovídat na více otázek.
Ale dokázat vztah mezi eliptickými křivkami a modulárními formami samotnými bylo velmi obtížným úkolem. Mnoho vědců se domnívalo, že je nemožné vytvořit složitější vztahy než ty, které byl Wiles schopen prokázat.
Nicméně, tým čtyř matematiků tuto hypotézu shodil. V únoru 2025 se jim podařilo rozšířit modulární spojení z eliptických křivek na složitější objekty, jako jsou „Abelovy plochy“. Tento výzkumný tým složený z Franka Calegariho z Chicagské univerzity, George Boxera a Toby Geeho z Imperial College London a Vincenta Pironiho z CNRS ve Francii dokázal, že všechny Abelovy plochy patřící do určité hlavní třídy jsou vždy spojeny s modulárními formami.
Vzkříšení hypotézy
„My matematici se v zásadě domníváme, že všechna tato tvrzení jsou pravdivá, ale je fascinující vidět, jak jsou skutečně prokázána,“ říká matematikyně Anna Karakiani z Imperial College v Londýně. „A co víc, podařilo se to v případech, o nichž jsme si mysleli, že jsou nedostižné.“
Toto je teprve začátek dlouhého výzkumu, jehož konečným cílem je ukázat modularitu pro všechny Abelovy plochy. Zatímco současný úspěch může posloužit k vyřešení mnoha dalších nevyřešených problémů, jako ten, který se vztahuje k důkazu modularity pro eliptické křivky, jimiž se podařilo otevřít nové cesty pro další výzkum.
Skryté komplikace eliptických křivek
Eliptické křivky jsou zvláštní druh rovnic, které používají pouze dvě proměnné, x a y. Když se jejich řešení vykreslí do grafu, vypadá to jako jednoduchá křivka. Avšak tyto odpovědi mají bohatý a složitý vztah a objevují se v mnoha zásadních problémech v oblasti číselné teorie. Například „Bach-Swinnerton-Dyerova hypotéza“, která se považuje za jeden z nejtěžších nevyřešených problémů v matematice, nabízí odměnu ve výši milion dolarů za její dokazování a vztahuje se k vlastnostem řešení eliptických křivek.
Zkoumat eliptické křivky přímo může být obtížné. Proto matematici často volí přístup z jiného úhlu.
Prakticky se používá modulární forma, která se může zdát jako neodmyslitelně oddělená část analýzy, ale má vysokou symetrii. Díky své bohaté symetrii se modulární formy ukazují být pro matematiky jako relativně dostupný objekt.
Na počátku se přitom nepovažovalo, že by tyto dvě oblasti měly nějaký vztah. Nicméně důkaz Taylora a Wilesa ukázal, že všechny eliptické křivky jsou spojeny s určitými modulárními formami. Tyto dva objekty sdílejí společné vlastnosti; například množina čísel, která popisuje řešení eliptických křivek, se objevuje i v odpovídající modulární formě. Tak byly získány nové poznatky o eliptických křivkách prostřednictvím modulárních forem.
Mnozí matematici se domnívají, že Wilesův a Taylorův důkaz modularity je jen jedním z mnoha takových obecných faktů. Existují širší třídy matematických objektů, které přesahují eliptické křivky, a které by rovněž měly mít zrcadlové obrazy v symetrickém světě modulárních forem. A toto je jádro Langlandsova programu.
Proměnné eliptických křivek pouze x a y umožňují gráfovat v rovině. Pokud však přidáme další proměnnou z, vznikne povrch v trojrozměrném prostoru. Tento povrch se nazývá Abelova plocha, což je složitější objekt. Stejně jako eliptické křivky, má její řešení složitou strukturu, a matematici usilují o jeho porozumění.
Komplexita Abelových ploch a překonávání překážek
Přirozeně se zdá, že Abelovy plochy odpovídají složitějším typům modulárních forem. Avšak pouhé přidání jedné proměnné činí konstrukci těchto objektů a nalezení jejich řešení nesmírně složitým. Prokázání, že pro Abelovy plochy platí teorie modularit, se zdálo být téměř nemožné. „Bylo nám řečeno, že o tom nemá smysl přemýšlet, protože už mnozí lidé vyčerpali své pokusy a narazili na překážky,“ podotýká Gee.
Nicméně Boxer, Calegari, Gee a Pironi se rozhodli prokázat, že se pokusí překonat tuto výzvu.
Objevování mostů mezi světun
Čtyři vědci měli na starosti výzkum Langlandsova programu. „Chtěli jsme dalších hypotéz o realitě, ne nějakých podivných matematických konceptů,“ říká Calegari.
Abelovy plochy jsou objekty existující v reálném světě (aspoň pro matematiky), a prokázání teorie modularity pro tyto plochy by mohlo otevřít nové dveře. „Když máme toto tvrzení, udělá to možné, co bylo předtím nemožné,“ říká Calegari.
Tým zahájil spolupráci v roce 2016 a snažil se replikovat kroky použité Taylorem a Wilesem v důkazu eliptických křivek. Každý krok však byl u Abelových ploch mnohem složitější.
Tak se soustředili na relativně snadno zvládnutelný typ, nazývaný „normální Abelovy plochy“. Tyto plochy mají sady čísel současně popisující strukturu jejich řešení. Pokud by prokázali, že tyto sady lze odvodit rovněž z modulárních forem, důkaz by byl hotový. Tato čísla fungují jako tagy, a umožňují vzájemné spojení mezi každou Abelovou plochou a modulární formou v jedinečném větování.
Problém však spočíval v tom, že ačkoliv bylo snadné vypočítat čísla pro určité Abelovy plochy, nevěděli, jak konstrukci přesně provést tak, aby se propojila se stejnými tagy v modulárních formách. I v úzkých podmínkách by byla konstrukce modulárních forem nesmírně náročná. „Ani jsme si nebyli jisti, jestli objekt, který hledáme, skutečně existuje,“ říká Pironi.
Tým se tedy rozhodl, že je dostatečné vytvořit modulární formy „slabým způsobem,“ tedy že čísla modulárních forem musí být ekvivalentní v takzvaném „kalkulaci hodin.“ Měli byste si představit hodiny; pokud ručička ukazuje číslo 10 a uplyne čtyři hodiny, ukazuje číslo 2. Ovšem v kalkulaci hodin nemusíte mít základy podle skutečných hodin, ale náhodně zvolené číslo.
V jejich případě Boxer, Calegari, Gee a Pironi museli prokázat, že se dvě sady čísel shodují, když používáte „hodiny s čísly až do 3.“ Podle této analogie by se pak mohly snadněji konstrukce modulárních forem, které odpovídají vybraným Abelovým plochám.
To však bylo stále nesmírně obtížné.
Ve chvíli, kdy tým objevil zásoby modulárních forem s čísly snadno vypočitatelnými, potvrdilo se, že to bylo možné pouze tehdy, pokud by čísla byla definována v rámci hodin pro čísla do 2. Pro Abelovy plochy však byly potřebné hodiny pro čísla až do 3.
Existovalo několik nápadů, jak hrubě propojit dvě různé hodiny. Nicméně nebylo možné vybudovat dostatečně přesné spojení, aby bylo nalezeno modulární formy, které by zcela odpovídaly Abelovým plochám. V tu chvíli se objevilo neočekávané matematické zjevení, které tým právě potřeboval.
Neočekávaná pomoc
V roce 2020 předložil matematik v oboru číselné teorie Liu Pang důkaz, který byl relevantní pro modulární formy. Na začátku se zdálo, že nemá nic společného s činností čtyř matematiků. Nicméně brzy zjistili, že metoda vytvořená Panem je překvapivě blízká jejich cíli. „Bylo to naprosto nepředvídatelné,“ vzpomíná Pang.
Tým se pravidelně scházel více než několik let, většinou přes Zoom, aby aplikovali Panovu metodu na své výzkumy. Však i přesto existovaly některé vážné překážky. V létě 2023 se Boxer, Gee a Pironi rozhodli, že vycestují na konferenci v Bonnu v Německu jako ideální příležitost, aby se setkali osobně. Jediným problémem bylo, že Calegari měl v plánovanou dobu cestovat do Číny, aby tam měl přednášku. Nicméně po nepříjemné zkušenosti na čínském konzulátu v Chicagu jej to přimělo k přepracování svých plánů. „Po osmi hodinách vyřizování mi bylo nakonec vydáno vízum a během té doby mi odtáhli auto,“ říká Calegari. Nakonec se rozhodl zrušit svou přednášku v Číně a setkat se s týmem v Německu.
Gee zajistil, aby měli čtyři sídlo v Hausdorffově institutu, které by bylo méně rušené než jiné místa. Tento týden se poté věnovali výzkumu Panova teoremu. Pracovali každý den po dvanáct hodin a vycházeli pouze pro kávu. „Po každém šálku kávy jsme si v žertu říkali, že se musíme vrátit zpět do dolu,“ říká Pironi.
Jejich intenzivní námaha přinesla plody. „I když i později došlo k mnoha kličkám, na konci toho týdne jsme měli něco hmatatelného,“ říká Calegari.
Trvalo další rok a půl, než byl tento pocit formálně převeden na 230 stránkový důkaz. A v únoru 2025 tým zveřejnil online důkaz, který potvrdil, že pro všechny normální Abelovy plochy existují odpovídající modulární formy.
Tento nový úspěch čtyř matematiků by mohl mít sílu srovnatelnou s úspěchy Taylora a Wilesa a možná by mohl odhalit tajemství Abelových ploch více, než se dosud myslelo. Nejprve však musí svůj výsledek rozšířit na nenormální Abelovy plochy. Tým pokračuje v této exploraci spolu s Panem. „Myslím, že za deset let bychom měli mít téměř všechny pojmy vyřešeny,“ říká Gee.
V důsledku tohoto výzkumu mají matematikové nyní možnost stanovit nové hypotézy. Například hypotézu Bach-Swinnerton-Dyer, která se vztahuje na Abelovy plochy, představuje jedním z takových příkladů. „Nyní je jasné, že se obdobné hypotézy mohou vztahovat na normální Abelovy plochy. Dříve jsme o tom neměli vůbec žádné povědomí,“ říká matematik Andrew Sutherland z Massachusettského technologického institutu.
„Mnohá z toho, co jsme mohli dříve jen snít, se díky tomuto teoremu stalo dosažitelným,“ dodává. „Tato situace se podaří zcela změnit.“
* Tento článek je originální příběh zveřejněný s povolením Quanta Magazine, spravovaného Simon Foundation. Cílem této nadace je prohloubit hlubší porozumění vědě pro široký veřejnost prostřednictvím zaměření na výzkum a trendy v oblasti matematiky, fyziky a životních věd.
* Další články o matematice od WIRED najdete zde.
